differentiaalimuotoja

Differentiaalimuodot ovat antisimmetrisiä tensorikenttiä, joita käytetään kalkulus- ja geometriatehtävissä manifoldeilla. Ne muodostavat sarjan Ω^p(M), missä p on muodon aste ja M on sujuva (differentiable) manifold. 0-formit ovat funktioita, 1-formit ovat lineaarikomboja dx^i, 2-formit ovat dx^i ∧ dx^j, ja niin edelleen. Yleinen p-formi ω voidaan paikallisesti kirjoittaa muodossa ω = ∑ f_{i1...ip}(x) dx^{i1} ∧ ... ∧ dx^{ip}, jossa i1 < ... < ip. Wedge-merkki ∧ antaa muodoille ulkoisen tulon ja aiheuttaa muotojen anti-symmetrisen ominaisuuden.

Exterior derivative d: Ω^p(M) → Ω^{p+1}(M) on koordinaattori-riippumaton operaatio, joka täyttää d^2 = 0 ja Leibnizin säännön: d(ω ∧ η) = dω ∧ η + (−1)^p ω ∧ dη. Sen avulla voidaan määritellä ja sijoittaa johdannaisia ja virtoja, sekä johtaa integraatioteoreemoihin. P-formin integraatio orientoidulle p-ulotteiselle alulle W ⊂ M on ∫_W ω, ja Stokesin teoreema yhdistää d:n ja reuna-integraatiot: ∫_W dα = ∫_{∂W} α.

Koordinaattori-independenteisuus: muotoja voidaan siirtää karttojen välillä pullbackilla f^*. Suljetut muodot (dω = 0) ja tarkat muodot (ω = dη) liittyvät de Rham -yhteisöihin H^p(M) = ker d / im d, jotka kuvaavat tilan topologista rakennetta.

Sovelluksia: fysiikassa Maxwellin lait esitetään usein differentialmuotoina; geometriassa ja topologiassa ne kuvaavat tilan ominaisuuksia ja tarjoavat työkalut monien laskentojen ja teoreettisten rakenteiden tarkasteluun.