Differentiaalimuodot

Differentiaalimuodot ovat smooth-manion M:n päälle määriteltyjä k-muotoja. Ne ovat smooth-sektionen Ω^k(M) = Γ(∧^k T^*M) eli k-sisäkkäisen cotangent-kudoksen kertavektorin käänteisistä kosketuksista muodostettuja olioita. Yleisesti 0-muoto on smooth-funktio M:llä, ja 1-muoto on tangenttilan duali. Paikallisesti koordinaateilla x^1, ..., x^n k-muotoinen ω voidaan kirjoittaa muotona ω = ∑ f_{i1...ik}(x) dx^{i1} ∧ ... ∧ dx^{ik}, jossa f_{i1...ik} ovat sileitä funktioita.

Wedge- eli liitostuotantokäsite ∧ antaa Ω^*(M):lle asteistetun algebran. Tasonäin ω ∈ Ω^k(M) ja η ∈ Ω^ℓ(M) määräävät ω ∧ η ∈ Ω^{k+ℓ}(M). Ulkoinen derivaatta d : Ω^k(M) → Ω^{k+1}(M) täyttää d^2 = 0 ja Leibnizin säännön: d(α ∧ β) = dα ∧ β + (-1)^k α ∧ dβ. Näin Ω^*(M) muodostaa differentiaalimuotojen asteistetun algebran ja d:n avulla voidaan tutkia moniulotteisten pintojen ominaisuuksia.

Pulakääre ja integrointi: Jos N on toinen sileä monisto ja f: N → M on sileä, niin voidaan muodostaa pulldown f^*: Ω^k(M) → Ω^k(N), joka säilyttää d: f^* d = d f^*. Integrointi vaatii M:n suuntausvaatimukset sekä top-­-muodon tilan: M:in dimension on n ja ω ∈ Ω^n(M) voidaan integroida M:llä. Stokesin teoreema: ∫_M dη = ∫_{∂M} η, kun η ∈ Ω^{n-1}(M).

Esimerkkejä ja yhteydet: R^n:ssä dx^i ovat perus-1-muotoja; jokainen k-muoto voidaan rakentaa näiden dx^i ∧ ... ∧ dx^j -kombinaatioista. Derivaatan d avulla tavallinen differentiaalisessa laskussa kuvatut muutokset yleistyvät. Tutkimuskohteena ovat closed- ja exact-muotot sekä de Rham -yhteistot, jotka muodostavat luokat H^k(M). Lisätyillä rakenteilla, kuten metrin avulla määritetään Hodge-tähti, laajennetaan muotoihin liittyviä operaatioita.