Diagonalisiert

Diagonalisiert bezeichnet in der linearen Algebra eine Eigenschaft einer quadratischen Matrix. Eine Matrix A heißt diagonalisiert, wenn es eine invertierbare Matrix P gibt, so dass P^{-1}AP = D eine Diagonalmatrix ist. Die Diagonaleinträge von D sind dabei die Eigenwerte von A, und die Spalten von P bilden eine Basis aus Eigenvektoren von A. Folglich besitzt A eine Basis aus Eigenvektoren, wenn A diagonalisiert ist.

Eine Grundbedingung dafür lautet: A hat n linear unabhängige Eigenvektoren, wobei n die Dimension des Vektorraums ist. Dann ist A ähnlich einer Diagonal matrix D und A = P D P^{-1}. Äquivalent dazu gilt, dass das Minimalpolynom von A keine wiederholten Wurzeln besitzt und die geometrische Multiplizität jedes Eigenwerts der algebraischen Multiplizität entspricht.

Besonderheiten und Beispiele: Reell symmetrische Matrizen sind stets über den reellen Zahlen diagonalisiert, und dabei existiert eine orthogonale Matrix Q mit Q^{T}AQ = D. Allgemeineren Fällen ist Diagonalisierung nicht immer möglich: defekte Matrizen besitzen zwar Eigenwerte, aber nicht genügend unabhängige Eigenvektoren, sodass keine Diagonalform durch eine Äquivalenztransformation erreichbar ist. In solchen Fällen lässt sich stattdessen die Jordan-Normalform verwenden.

Vorgehen zur Diagonalisierung: Zunächst die Eigenwerte bestimmen, dann zu jedem Eigenwert die zugehörigen Eigenvektoren berechnen, eine Basis aus Eigenvektoren bilden und eine Matrix P aus diesen Vektoren als Spalten wählen. Anschließend D = P^{-1}AP ergibt eine Diagonalform, sofern A diagonalisiert ist.