CrankNicolsonVerfahren

Crank-Nicolson-Verfahren, benannt nach John Crank und Phyllis Nicolson (1947), ist ein zeitdiskretes Verfahren zur Lösung zeitabhängiger partieller Differentialgleichungen. Es gehört zur Familie der Theta-Verfahren (Theta = 1/2) und entspricht dem trapezregelbasierten Zeitintegrator. In der Praxis wird es oft zur Lösung von Diffusions- oder Wärmegleichungen verwendet, lässt sich aber auch auf andere lineare parabolische Probleme anwenden.

Mathematisch lässt sich das Verfahren so formulieren: Für eine Gleichung der Form u_t = L u mit einem räumlich diskretisierten Operator L_h erhält man den CN-Schritt

(u^{n+1} - u^n)/Δt = 1/2 [L_h u^{n+1} + L_h u^n].

Damit ist der Lösungsschritt implizit, da u^{n+1} auf beiden Seiten vorkommt. Das führt zu einem linearen Gleichungssystem, das pro Zeitschritt zu lösen ist. In einer 1D-Diskretisierung ergibt sich typischerweise eine tridiagonale Matrix; in höheren Dimensionen werden es größere, aber spärliche Systeme.

Eigenschaften und Anwendungsgebiete: Das Crank-Nicolson-Verfahren ist für lineare parabolische PDEs unbedingst stabil und zweistufig genau in Zeit und Raum, vorausgesetzt die räumliche Diskretisierung ist zweiter Ordnung. Es bietet eine gute Balance aus Stabilität und Genauigkeit und erzeugt weniger numerische Phasenverzerrungen als rein explizite Verfahren. Es kann bei nichtlinearen Gleichungen durch Linearisation (z. B. Newton-Verfahren) eingesetzt werden. Typische Anwendungen umfassen die Wärmeleitung, Diffusionsprozesse sowie, in der Finanzmathematik, zeitabhängige Black-Scholes-ähnliche PDEs, wo CN-ähnliche Diskretisierungen häufig verwendet werden.

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