ChapmanKolmogorovligningene

Chapman-Kolmogorov-ligningene er et sett med ligninger som beskriver hvordan sannsynlighetsfordelingen av en stokastisk prosess utvikler seg over tid. De er fundamentale i studiet av Markov-kjeder og andre tidsprosesser der fremtidig tilstand avhenger kun av nåværende tilstand.

I sin enkleste form gjelder ligningene for diskrete tidssteg og et endelig antall tilstander. Hvis P(i, j, t) er sannsynligheten for å være i tilstand j ved tid t, gitt at man startet i tilstand i ved tid 0, så sier Chapman-Kolmogorov-ligningene at sannsynligheten for å gå fra tilstand i til tilstand k i to tidssteg, henholdsvis t1 og t2, er summen av sannsynlighetene for å passere gjennom alle mulige mellomtilstander j. Matematisk uttrykkes dette som P(i, k, t1+t2) = sum_j P(i, j, t1) * P(j, k, t2).

Ligningene kan generaliseres til kontinuerlig tid, der de ofte uttrykkes ved hjelp av overgangstettheter eller en overgangsmatrise som oppfyller visse differensialligninger. I dette tilfellet beskriver de hastigheten som sannsynligheter endrer seg med.

Chapman-Kolmogorov-ligningene er essensielle for å analysere systemer som endrer tilstand over tid, for eksempel i fysikk (partikkelbevegelse), kjemi (reaksjonskinetikk), biologi (populasjonsdynamikk) og økonomi (finansielle modeller). De danner grunnlaget for å beregne langsiktig oppførsel og stabilitetsegenskaper til slike systemer.