Borelfunktionen

BorelFunktionen, häufig auch als Borel-messbare Funktionen bezeichnet, spielen eine zentrale Rolle in der Maßtheorie und Funktionalanalysis. Sie sind Funktionen zwischen topologischen Räumen, deren Vorbilder von Borel-Mengen des Zielraums wieder Borel-Mengen der Definitionsmenge ergeben.

Formal: Sei X ein topologischer Raum und Y ein Raum mit der Borel-Sigma-Algebra B(Y) (typisch Y = R mit der Standardtopologie). Eine Funktion f: X → Y heißt Borel-Funktion, wenn für alle Borel-Mengen B ⊆ Y das Preimage f^{-1}(B) in X eine Borel-Menge ist. In der Praxis genügt es oft zu prüfen, dass das Preimage jeder offenen Menge O ⊆ Y eine Borel-Menge ist; dies ist äquivalent, da B(Y) von den offenen Mengen erzeugt wird.

Eigenschaften: Jede stetige Funktion ist Borel-messbar, da das Preimage jeder offenen Menge offen und damit Borel ist. Die Klasse der Borel-Funktionen ist unter Standardoperationen wie Addition, Multiplikation und Skalarmultiplikation (bei Realwertfunktionen) abgeschlossen; zudem ist die Komposition von Borel-Funktionen mit Borel- oder stetigen Funktionen wiederum Borel-messbar. Weiterhin gilt: Eine Funktion f: X → R ist Borel-messbar, genau dann wenn die Preimages von offenen Intervallen wie (-∞, a) Borel-Mengen sind. Jede Borel-Funktion ist Lebesgue-messbar, doch es gibt Lebesgue-messbare Funktionen, die nicht Borel-messbar.

Beispiele: Die Identitätsfunktion auf einem topologischen Raum ist Borel-messbar; stetige Funktionen in jedem Fall. Der Indikator einer Borel-Menge ist Borel-messbar, wenn als Zielraum R betrachtet wird.

Anwendungen finden sich in Wahrscheinlichkeitstheorie, Analysis und beim Aufbau von Random Variablen als messbare Abbildungen auf Wahrscheinlichkeitsräume.