Beweisquantoren

Beweisquantoren bezeichnet man in der Prädikatenlogik die Quantoren, die in Beweisen verwendet werden, um Aussagen über Elemente einer Domäne zu formulieren. Die beiden wichtigsten Beweisquantoren sind der Allquantor ∀ und der Existenzquantor ∃. Mit ihrer Hilfe lassen sich allgemeine Aussagen wie "Gilt für alle x" oder existierende Aussagen wie "Es existiert ein x mit..." präzise ausdrücken.

Semantik und Formulierung: Ein Satz wie ∀x P(x) bedeutet, dass P(x) in jeder Ausprägung der Variablen x wahr ist, unabhängig von der Wahl des Elements aus der Domäne. Ein Satz wie ∃x P(x) bedeutet, es gibt mindestens ein Element a mit P(a) wahr. Diese Wahrheit hängt von der Interpretation der Variablen und der Domäne ab, auf der die Aussagen formuliert werden. Beweisquantoren ermöglichen es, strukturierte Beweise zu führen, in denen universelle Behauptungen durch Instanziierung und allgemeine Generalisierung sowie existenzielle Behauptungen durch Einführung und Eliminierung von Existenzquantoren bearbeitet werden.

Inferenzregeln: Typische Regeln umfassen Universalinstanziierung (aus ∀x P(x) folgt P(t) für jedes term t), All2General (unter bestimmten Bedingungen folgt aus P(x) ∀x P(x)), Existenz-Einführung (aus P(t) folgt ∃x P(x)) und Existenz-Eliminierung (aus ∃x P(x) folgt unter Verzicht auf x auf eine Resultat, das von der Wahl von x unabhängig bleibt). In der Beweispraxis dienen Beweisquantoren dazu, umfassende oder existenzielle Behauptungen sauber abzuleiten.

Bedeutung und Varianten: Beweisquantoren sind zentral in Mathematik, Informatik und formaler Verifizierung. In der konstruktiven Logik erfordert ∃x P(x) einen konkreten Beweiswert, während in der klassischen Logik auch Beweistechniken wie Reduktion auf Abwesenheit von Widersprüchen genutzt werden. Historisch stammen sie aus der Entwicklung der Prädikatenlogik durch Frege, Russell und Whitehead. See also Prädikatenlogik.