Existenzquantoren

Existenzquantoren (Symbol ∃) sind logische Quantoren in der Prädikatenlogik, die ausdrücken, dass mindestens ein Element der betrachteten Domäne eine gegebene Eigenschaft erfüllt. Typisch wird ∃x φ(x) gelesen als „es existiert ein x, so dass φ(x)“. Der Quantor hat den Scope der folgenden Formel, über die er gilt.

Semantik und Grundprinzip: In einer Struktur M mit Domäne D gilt M ⊨ ∃x φ(x), wenn es ein Element d ∈ D gibt, so dass M ⊨ φ(x) mit x durch d interpretiert wird. Der Existenzquantor steht im Dualverhältnis zum Universalquantor:¬∃x φ(x) ist äquivalent zu ∀x ¬φ(x). Ebenso gilt ∃x φ(x) ≡ ¬∀x ¬φ(x).

Mehrere Variablen und Verschachtelung: Es können mehrere Existenzquantoren in einer Formel auftreten, z. B. ∃x ∃y P(x,y). In Verbindung mit anderen Quantoren wird der Gültigkeitsbereich der einzelnen Quantoren durch Klammern festgelegt.

Beispiele und Anwendungen: Es existiert eine natürliche Zahl n mit n > 100. Existenzquantoren finden sich in der Mathematik, Informatik und Linguistik, etwa zur Formulierung von Beweisen, Speifikationen oder semantischen Modellen natürlicher Sprache.

Zusammenhang mit Allquantor: Der Existenzquantor ist das Gegenstück zum Allquantor (∀). Gemeinsam bilden sie die Grundlage der erstenordered Logik und dienen der formalen Beschreibung von Eigenschaften und Beziehungen in Mengen und Strukturen.