Besselmönster

Besselmönster är ett begrepp inom matematik och fysik som ofta används för att beskriva de nodala mönster som uppstår i lösningar till det tvådimensionella Helmholtz‑problemet i cylindriska koordinater där Besselfunktioner uppträder naturligt. Dessa mönster förekommer i sammanhang där vågor studeras i en cirkelformad geometri, till exempel i ett runt membran (cirkulär trumma), optiska vågor i cirkulära kärnor eller mikrovågs- och radiovågor i cylindriska resonatorer.

Matematisk bakgrund: För att lösa Δu + k^2 u = 0 i polära koordinater (r, φ) antar man separabla lösningar u(r, φ) = J_n(k r) [A cos(nφ) + B sin(nφ)], där n = 0,1,2,... och J_n är Besselfunktionen av ordning n. Nodalstrukturen bestäms av rötterna j_{n,m} av J_n, vilka ger radiella nodalringar vid r = j_{n,m}/k. Den angulara delen ger nodala linjer där cos(nφ)=0 eller sin(nφ)=0, vilket ger 2n strålnodala linjer som går igenom centrum och delar området i 2n sektioner.

Egenskaper och exempel: Patternens uppsättning betecknas vanligtvis av n och m, där m anger antalet radiella noder och n anger antalet angulara nodor. Till exempel ger n=0, m=1 endast en koncentrisk nodalring; n=1, m=1 ger en radial nodal linje plus en cirkulär nodalring. Storleken och placeringen av nodalan kan påverkas av boundary‑villkor och resonatorns dimensioner.

Användningar: Besselmönster är centrala inom akustik, optik och elektromagnetism där cylindriska geometrier används, exempelvis vid analys av vibrerande membran, cirkulära resonatorer och Hankel/Bessel‑baserade modalproblem.

Se även: Besselfunktionen, Helmholtz‑ekvationen, cirkulärt membran, resonatorer, nodalstruktur.