BesselFunktion

BesselFunktion, auch Bessel-Funktion genannt, bezeichnet eine Familie spezieller Funktionen, die in der Lösung von Problemen mit zylindrischer Symmetrie auftreten. Sie sind Lösungen der Besselgleichung: x^2 y'' + x y' + (x^2 − n^2) y = 0, wobei n der Ordnungsindex ist.

Die wichtigsten Funktionen sind die Besselfunktion erster Art J_n(x) und die Besselfunktion zweiter Art Y_n(x) (auch Neumannfunktion). Für ganzzahlige Ordnungen n sind J_n(x) am Ursprung regulär, während Y_n(x) dort singulär ist. Zusammen mit verallgemeinerten Fällen für reelle oder komplexe n bilden sie eine fundamentale Lösungsbasis.

Es gibt auch modifizierte Bessel-Funktionen I_n(x) und K_n(x), die sich aus der Gleichung durch die Substitution x durch i x ergeben und in Problemen mit exponentiellem Verhalten auftreten, etwa bei Wärmeleitung oder Laplaceproblemen in zylindrischen Geometrien.

Wichtige Eigenschaften: J_n besitzt eine Potenzreihenentwicklung J_n(x) = sum_{m=0}^∞ (-1)^m / (m! Γ(m+n+1)) (x/2)^{2m+n}. Y_n besitzt eine Reihe um den Ursprung, die Logarithmus-Teil enthält. Für große Argumente verhalten sich J_n und Y_n wie J_n(x) ~ sqrt(2/(π x)) cos(x − n π/2 − π/4) bzw. Y_n(x) ~ sqrt(2/(π x)) sin(x − n π/2 − π/4).

Anwendungen finden sich in der Lösung der Wellen- und Helmholtz-Gleichung in Zylindern, in Schwingungs- und Akustikproblemen, in der Elektromagnetismusmodellierung sowie in der Wärmeleitung und in Quantenproblemen mit zylindrischer Geometrie. In der Praxis werden Bessel-Funktionen umfangreich numerisch berechnet und in vielen Softwarebibliotheken bereitgestellt.