Basisfunksjonene

Basisfunksjonene er en samling av funksjoner som brukes til å representere andre funksjoner i et funksjonsrom ved lineær kombinasjon. Hvis φ1, φ2, ..., φn er basisfunksjonene, kan enhver funksjon f i rommet skrives som f(x) = a1 φ1(x) + a2 φ2(x) + ... + an φn(x). Kravene til en basis er lineær uavhengighet og at de spenner opp hele rommet. I et begrenset (finite) rom er antallet basisfunksjoner lik rommets dimensjon; i uendelig dimensjon kan det være en uendelig samling.

Koefisientene a_i kan beregnes på ulike måter. Hvis basisfunksjonene er ortonormale under et indreprodukt, fås a_i som a_i = ⟨f, φ_i⟩. Ellers må man løse et lineært system som følger av projeksjon eller minstekvadraters metode. Ordonale eller lokalt støttede basisfunksjoner har ofte praktiske fordeler i beregninger og tolking.

Vanlige typer basisfunksjoner inkluderer polynombaser (for eksempel 1, x, x^2, ...), trigonometrisk basis for periodiske funksjoner (1, cos(nx), sin(nx)), og splines som B-spline-basis for kurve- og flatedeforming. Radiale basisfunksjoner (RBF) som Gaussian brukes ved multivariat interpolasjon, og wavelet-baser gir god lokalisasjon av detaljer. I tillegg er ortogonale baser brukt ofte i numeriske metoder og dataanalyse.

Bruken av basisfunksjoner gjør det mulig å tilnærme komplekse funksjoner, løse differensialligninger og gjennomføre data- og signalbehandling ved å arbeide med en relativt liten mengde koeffisienter i stedet for hele funksjonen. Valg av basis påvirker konvergens, nøyaktighet og beregningseffektivitet.