Avgrensingsfunksjoner

Avgrensingsfunksjoner, ofte kalt cut-off functions eller bump functions, er glatte funksjoner som brukes i matematikk for å lokalisere problemer ved å skifte verdier gradvis fra 1 i et område til 0 utenfor et større område. En typisk avgrensingsfunksjon φ: R^n → [0,1] er valgt slik at φ ≡ 1 på en kompakt mengde K og støtten til φ ligger i et åpent område U som inneholder K. Vanligvis er φ glatt (for eksempel C∞) og har kompakt støtte.

En vanlig konstruksjon er å velge en glatt funksjon ψ ∈ C∞(R) med ψ(t) = 1 for |t| ≤ 1 og ψ(t) = 0 for |t| ≥ 2, og deretter sette φ(x) = ψ(|x|/r). Da er φ ∈ C∞(R^n), φ ≡ 1 på ballen B_r og støtten i B_{2r}. Slike funksjoner kalles også radiale avgrensingsfunksjoner. På generelt nivå brukes avgrensingsfunksjoner også til å tilpasse seg spesifikke geometriske situasjoner eller til å bygge en partisjon av enheter (partition of unity) i forbindelse med manifolds.

Egenskaper og variasjoner: φ er vanligvis mellom 0 og 1, glatt og har ønsket støtte. De er ikke indikatorefunksjoner, men glatte tilnærminger til slike, noe som gjør dem spesielt nyttige i analyse.

Anvendelser: avgrensingsfunksjoner brukes til å lokalisere integraler og operasjoner, definere lokale versjoner av funksjonsrom som Sobolevrom, og som byggesteiner i mollifierer og i partisjoner av enheter. De er sentrale i løsninger av partielle differensialligninger og i bevis av teoremer som avhenger av lokale antagelser eller lokal regularitet.