Autokorrelasjoner

Autokorrelasjoner er en størrelse som beskriver hvor sterk en tidsserie X_t er korrelert med en senere versjon av seg selv, X_{t-k}, der k er lag. For en stokastisk prosess X_t er autokorrelasjonen ved lag k definert som korrelasjonen mellom X_t og X_{t-k}. Den tilhørende autokovariansen gamma(k) og autokorrelasjonsfunksjonen rho(k) = gamma(k)/gamma(0) brukes for å beskrive avhengigheten over tid. Gamma(0) tilsvarer variansen til X_t, og rho(0) = 1.

Kravet til at rho(k) kun avhenger av k, ikke av t, gjelder for svakt-stasjonære prosesser, der autokorrelasjonsfunksjonen avhenger bare av lagene. Autokovariansen gamma(k) gir også informasjon om hvor sterkt verdier tilhørende ulike tidspunkter henger sammen. I praksis beregnes ofte et estimat av rho(k) fra dataene, kalt prøveautokorrelasjon eller ACF (autocorrelation function).

Estimators og tolkning: For et datasett med n observasjoner er prøveautokorrelasjonen ved lag k gitt av r(k) = sum_t (X_t - X̄)(X_{t-k} - X̄) / sum_t (X_t - X̄)^2, hvor summasjonen løper over gyldige t. Store prøvestørrelser gir relativt presise estimater med omtrent ±1.96/√n som omtrentlige 95% konfidensgrenser for en hvit støy-prosess.

Bruksområder: Autokorrelasjoner brukes til å analysere sesonalitet og sykliske mønstre, identifisere lags som er relevante ved modellbygging (for eksempel ARIMA-modeller) og vurdere avhengighetsstruktur i økonomiske, meteorologiske og signalbehandlingsdata. Det er viktig å adresser non-stasjonaritet og trender, da disse kan skape kunstige autokorrelasjoner.