Asymptotiska

Asymptotiska beskriver hur en storhet beter sig när dess argument närmar sig en gräns, oftast mot oändligheten eller mot ett särskilt värde där beteendet förändras. Inom analys används begreppet för att utveckla approximationer och jämförelser mellan funktioner.

En asymptot är en kurva som en annan kurva närmar sig när x går mot gränsen. Horisontella asymptoter uppträder när f(x) → L när x → ±∞, och vertikala eller sneda asymptoter uppträder när f(x) divergerar mot ±∞ när x närmar sig ett specifikt tal a. Dessa linjer ger en förenklad bild av funktionens stora eller små beteende.

Ett vanligt sätt att uttrycka asymptotiskt beteende är att säga att f(x) är asymptotiskt lik med g(x) när x går mot a eller ∞, beteendet betecknas f(x) ~ g(x) och definieras genom gränsen lim f(x)/g(x) = 1. Exempel: f(x) = 3x + 2 och g(x) = 3x har f(x) ~ g(x) när x → ∞.

Asymptotiska expansioner används för att få effektiva approximationer av funktioner för stora argument, ofta i form av serier som fångar ledande termerna. Exempelvis ger Stirling formeln en asymptotisk approximation av n!.

Inom datavetenskap används asymptotisk analys för att beskriva algoritmers tillväxt, ofta med notationen Big-O, Omega och Theta. Till exempel är sortering med jämförelser vanligtvis Θ(n log n) i genomsnitt och i värsta fall.

---