Antiderivaatia

Antiderivaatia on matematiikassa funktio F, jolla F'(x) = f(x). Toisin sanoen antiderivaatia on funktio, jonka derivoimalla saa annetun funktion f. Tämän vuoksi kaikki F + C (C on vakio) ovat antiderivaatioita samalle f:lle. F:ää käytetään usein f:n antiderivaatioina, ja sitä merkitään usein muodossa ∫ f(x) dx.

Epämääräinen integraali ∫ f(x) dx tarkoittaa kaikkien f:n antiderivaatioiden perhettä; vakio C huomioidaan. Määriteltyjen rajojen äärellä oleva integraali liittyy antiderivaatioihin F:lla siten, että ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a), kun F on f:n antiderivaatio.

Fundamentaalinen lause laskennassa (peruslaskennan yhteys): Jos f on jatkuva [a,b]-välillä, niin F(x) = ∫_a^x f(t) dt on f:n antiderivaatio ja F'(x) = f(x). Tämä todistaa, että derivoiminen ja integrointi toimivat vastakkaisina operaatioina.

Esimerkkejä: ∫ x^n dx = x^{n+1}/(n+1) + C (n ≠ -1). ∫ e^x dx = e^x + C. ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C. Kaikki funktiot eivät ole elementaarisia antiderivaatioita; esimerkiksi ∫ e^{−x^2} dx ei ole elementaarinen, vaan liittyy erf-funktioon.

Menetelmät: antiderivaatioita voidaan löytää käyttämällä muunnoksia (kuten u-substituutio), osittaista integrointia sekä erilaisia tekniikoita (kerta- ja jyrkät substituutiot, osamurtaminen jne.). Näitä menetelmiä sovelletaan sekä epäillisen että ennen kaikkea konkreettisen antiderivaatioiden löytämisessä.

Sovellukset: antiderivaatioita käytetään pinta-alueiden laskemiseen käyrien alla, liikkeen kertymän ja nopeuden yhteyksiin, sekä todennäköisyys- ja tilastotieteen kumulatiivisiin jakaumiin.