Ableitbarkeit

Ableitbarkeit bezeichnet in der Analysis die Eigenschaft einer Funktion, an einer Stelle differenzierbar zu sein. Eine Funktion f: D ⊆ R → R ist genau dort ableitbar in x0, wenn der Grenzwert des differenzenquotienten existiert: f'(x0) = lim_{h→0} (f(x0+h) − f(x0)) / h. In mehrdimensionalen Räumen wird Differenzierbarkeit durch eine lineare Näherung beschrieben (Fréchet-Differenzierbarkeit): Es gibt eine lineare Abbildung L, so dass f(x0+h) = f(x0) + L(h) + o(‖h‖) beim h→0.

Folgen und Beispiele: Ist f differenzierbar in x0, so ist f in x0 stetig. Differenzierbarkeit ist stärker als Kontinuität. Beispiele: Polynome und die Exponentialfunktion sind überall differenzierbar. Die Betragsfunktion |x| ist nicht differenzierbar in x=0.

Höhere Ordnung und Klassifikation: Wenn f zweimal differenzierbar ist, existieren zweite Ableitungen. Funktionen, die unendlich oft differenzierbar sind, gehören zu C^∞; analytisch sind sie, wenn sie durch eine Potenzreihe beschrieben werden können. Es gibt jedoch C^∞-Funktionen, die nicht analytisch sind (vgl. e^{-1/x^2} für x ≠ 0, mit Wert 0 bei x=0).

Regeln der Differentiation: Differentiation folgt den bekannten Regeln wie Summen-, Produkt- und Kettenregel. Für Funktionen f und g gelten beispielsweise (f+g)' = f' + g', (fg)' = f'g + fg', und (f∘g)' = f'(g)·g'.

Mehrdimensionale Differenzierbarkeit: In R^n bedeutet Differenzierbarkeit die Existenz einer linearen Näherung und damit die Existenz eines Gradienten; unter geeigneten Bedingungen existieren alle partiellen Ableitungen und der Gradient ∇f(x0).