Abbildungssystems

Abbildungssysteme (auch Abbildungssysteme genannt) bezeichnet in der Mathematik allgemein eine Sammlung von Abbildungen, oft als eine Familie von Funktionen f_i angegeben, die zwischen Mengen oder strukturierten Objekten verläuft und durch einen Indexsatz I gekennzeichnet ist. Typisch besteht ein Abbildungssystem aus Abbildungen f_i: X_i → Y_i, wobei X_i und Y_i die jeweiligen Domänen und Codomänen der Abbildungen sind. Je nach Kontext kann I fest oder variabel sein; häufig dient das System dazu, Eigenschaften von Abbildungen gemeinsam zu untersuchen, zu vergleichen oder zu kombinieren.

Wichtige Strukturmerkmale betreffen, ob das System abgeschlossen ist unter Operationen wie der Vereinigung, dem Addieren oder der Komposition. In der linearen Algebra spricht man von einem System linearer Abbildungen, wenn alle f_i linear sind. In der Topologie oder Analysis kann es sich um Systeme stetiger Abbildungen handeln. In der Kategorie-Theorie entspricht ein Abbildungssystem oft einer Funktor-Struktur, bei der die Abbildungen über Objekte des Indexkategories hinweg transportiert werden.

Beispiele reichen von allen stetigen Abbildungen zwischen zwei topologischen Räumen über das System aller linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen bis hin zu Automorphismen einer algebraischen Struktur. In der Praxis dienen Abbildungssysteme der Organisation und Deskription von Familien von Transformationsregeln, der Modellierung von Datenflüssen oder der formalen Beschreibung von Beziehungen in einer Struktur.

Sie sind eng verwandt mit dem Begriff der Abbildung (Funktion) und unterscheiden sich von einzelnen Abbildungen durch ihren aggregierten Charakter und etwaige zusätzliche Strukturen wie Indizierung, Closure-Eigenschaften oder Funktor-Interpretationen. Sie treten in vielen Bereichen auf, darunter Algebra, Analysis, Topologie und Computermathematik.