wyznaczników

Wyznacznik macierzy kwadratowej A, oznaczany det(A), to skalar przypisany tej macierzy, który opisuje m.in. zmianę objętości i orientacji przy przekształceniu liniowym reprezentowanym przez A. Dla macierzy 2x2 o postaci

[[a, b],

[c, d]]

wyznacznik wynosi det(A) = ad − bc.

Własności wyznacznika obejmują m.in. że det(AB) = det(A) det(B) oraz det(A^T) = det(A). Wyznacznik identyczności det(I) = 1. A jest odwracalna wtedy, gdy det(A) ≠ 0; jeśli det(A) = 0, macierz nie ma odwrotności i jej kolumny (wiersze) są liniowo zależne.

Wpływ operacji na wiersze na wyznacznik: zamiana dwóch wierszy zmienia znak det(A); dodanie skalarnego wielokrotności jednego wiersza do innego nie zmienia det; pomnożenie wiersza przez skalar k mnoży det przez k. Te same zasady dotyczą kolumn. Dzięki temu najczęściej wyznacznik oblicza się przez redukcję do macierzy trójkątnej lub schodkowej, a det(A) jest iloczynem diagonalnych elementów (dla macierzy trójkątnej).

Znaczenie geometryczne: det(A) jest miarą objętości równoległoboku utworzonego przez kolumny A (w 3D – objętości paralell epipedu). Wartość bezwzględna det(A) daje tę objętość; znak określa kierunek orientacji przekształcenia.

Zastosowania obejmują m.in. regułę Cramera do rozwiązywania układów równań liniowych i badanie własności macierzy poprzez determinanty jej macierzy uzupełniających.