våglikningarna

Våglikningar är en klass av partiella differentialekvationer som beskriver hur vågformer sprids i tid och rum. Den mest grundläggande formen är den linjära våglikningen, som för ett vågfält u(x,t) i en homogen isotrop medium skrivs i en dimension: ∂^2 u/∂t^2 = c^2 ∂^2 u/∂x^2, där c är vågens hastighet. I tre dimensioner skrivs den allmänna formen som ∂^2 u/∂t^2 = c^2 ∇^2 u eller, mer generellt, ∇^2 u - (1/c^2) ∂^2 u/∂t^2 = 0 för fri våg.

Den allmänna lösningen i en dimension kan skrivas som summan av två vågor som färdas i motsatta riktningar: u(x,t) = F(x-ct) + G(x+ct). I tre dimensioner består lösningar av plana vågor: u ∝ e^{i(k·x - ωt)} med ω = c|k|.

Våglikningar uppstår i många sammanhang: ljud- och tryckvågor i luft eller vätska; elektromagnetiska vågor som färdas genom vakuum eller medier; och vattenvågor. I elektromagnetismen härleds våglikningen för E- och B-fält ur Maxwell’s ekvationer, och i vakuum är hastigheten c lika med 1/√(ε0 μ0).

I praktiken används våglikningar med olika randvillkor och källtermer, vilket leder till partiella differentialekvationer med initiala och randvillkor. Våglikningar är centrala i fysik och teknik och ingår i vidare teoribildningar som kvantfältteori, där den relativistiska våglikningen Klein-Gordon och relaterade ekvationer spelar en roll.