volyymiintegraali

Volyymiintegraali, tunnettu myös nimellä tilavuusintegraali, on matemaattinen työkalu, jota käytetään laskemaan funktio kolmessa ulottuvuudessa. Se on eräänlainen moninkertainen integraali, joka suoritetaan kolmiulotteisen alueen yli. Volyymiintegraalin avulla voidaan määrittää esimerkiksi kappaleen massa, gravitaatiokeskus tai sähkövaraus, jos funktiona on kappaleen tiheys, gravitaatiopotentiaali tai varausjakauma.

Matemaattisesti volyymiintegraali merkitään usein symbolein $\iiint_V f(x, y, z) \, dV$, missä $V$ on integroimisalue ja $f(x, y, z)$ on integroitava funktio. Integraali voidaan laskea usein iteroidun integraalin avulla, missä integraali suoritetaan yksi muuttuja kerrallaan. Esimerkiksi karteesisissa koordinaateissa tämä voi näyttää muodoltaan $\int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \int_{a_3}^{b_3} f(x, y, z) \, dz \, dy \, dx$. Muissa koordinaattijärjestelmissä, kuten sylinteri- tai pallokoordinaateissa, lauseke $dV$ ja integrointirajat muuttuvat vastaavasti.

Volyymiintegraaleilla on tärkeitä sovelluksia fysiikassa ja insinööritieteissä, missä niitä hyödynnetään laskemaan jatkuvien, kolmiulotteisten kappaleiden fysikaalisia ominaisuuksia.