pallokoordinaateissa

Pallokoordinaatit, eli pallokoordinaattijärjestelmä, on kolmiulotteinen koordinaattijärjestelmä, joka määrittelee pisteen sijainnin avaruudessa käyttäen kolmea arvoa: etäisyyttä origosta (säde), kulmaa xy-tasoon nähden (azimutti) ja kulmaa z-akseliin nähden (polaarinen kulma). Vaikka terminologia voi vaihdella hieman eri tieteenaloilla, yleisin merkintätapa on (r, θ, φ), missä r on säde, θ on azimutti ja φ on polaarinen kulma.

Säde r kuvaa pisteen etäisyyttä origosta. Se on aina ei-negatiivinen. Azimutti θ, usein kutsuttu myös pitkittäiskulmaksi, mittaa kulmaa positiivisesta x-akselista pisteen projektion suuntaan xy-tasolla. Sen arvo on tyypillisesti välillä [0, 2π) tai (-π, π]. Polaarinen kulma φ, jota kutsutaan myös korkeuskulmaksi tai zeniittikulmaksi, mittaa kulmaa positiivisesta z-akselista pisteeseen. Sen arvo on yleensä välillä [0, π].

Pallokoordinaatit ovat erityisen hyödyllisiä kuvattaessa palloihin, kuutiin tai sfääriseen symmetriaan liittyviä ilmiöitä. Niitä käytetään laajalti fysiikassa, astronomiassa, geografiassa ja konetekniikassa. Esimerkiksi planeettojen tai tähtien sijainnit taivaalla voidaan esittää tehokkaasti pallokoordinaateissa.

Pallokoordinaattien muuntaminen karteesisiksi koordinaateiksi (x, y, z) tapahtuu seuraavilla kaavoilla: x = r sin(φ) cos(θ), y = r sin(φ) sin(θ), ja z = r cos(φ). Vastaavasti karteesiset koordinaatit voidaan muuntaa pallokoordinaateiksi laskemalla r = √(x² + y² + z²), θ = atan2(y, x), ja φ = acos(z/r).