viktfunktion

En viktfunktion är en funktion som tilldelar varje punkt i ett område en vikt som används för att väga bidraget från den punkten i olika operationer. Den är vanligtvis icke-negativ och kan fungera som en sannolikhetsdensitet när den är normaliserad, men det är inte nödvändigt.

I matematisk analys används viktfunktioner ofta i definitionen av inre produkter och ortogonala polynom: ⟨f,g⟩ = ∫ f(x) g(x) w(x) dx, där w är viktfunktionen. Polynom som är ortogonala med avseende på detta vikt kan bilda basisar inom approximationsteori och spektral analys.

Inom numerisk integration används viktfunktioner i viktade kvadraturregler, där varje provpunkt bidrar med en vikt som väger funktionens värde enligt w(x). Viktningen gör det möjligt att betona vissa regioner eller beteenden hos funktionen som är av särskilt intresse.

Inom statistik och dataanalys används viktfunktioner för att beräkna viktade medelvärden och viktade osäkerheter; viktning används också i enkätundersökningar för att korrigera för urvalsdesign och svansfördelningar.

Inom kernelmetoder och icke-parametrisk täthetsestimering används vikter genom kernel-funktioner som väger observationer baserat på avstånd. Detta används också i viktad uppskattning av lokala egenskaper hos data.

Exempel på klassiska viktfunktioner är w(x) = e^{-x} på [0, ∞) för Laguerre-polynomen och w(x) = e^{-x^2} på hela R för Hermite-polynomen. En viktfunktion kan normaliseras till en sannolikhetsdensitet, men behöver inte vara det i sig.