vijfpuntsstencil

Vijfpuntsstencil is een veelgebruikte finite difference-methode voor de discrete benadering van de twee-dimensionale Laplace-operator op een regelmatig rooster. Het wordt veel toegepast bij de numerieke oplossing van Poissonvergelijkingen en bij simulaties in natuurkunde, engineering en beeldverwerking.

De discrete Laplacian op een interieurpunt (i, j) wordt gegeven door (u_{i-1,j} + u_{i+1,j} + u_{i,j-1} + u_{i,j+1} - 4 u_{i,j}) / h^2, waarbij h de roosterafstand is in zowel de x- als y-richting. Dit stencil is tweede-orde accuraat, wat betekent dat de fout O(h^2) is bij kleine h. Het stencil gebruikt het centerpunt en de vier directe buurpunten in een kruisvorm.

In problemen met Dirichlet-voorwaarden wordt de waarde van u op de rand bepaald, en voor punten dicht bij de rand worden one-sided of aangepaste stencils toegepast. Voor Neumann- of Robin-voorwaarden vereisen randpunten vaak aangepaste benaderingen of extra controles.

Het vijfpuntsstencil leidt tot een lineair systeem dat efficiënt kan worden opgelost met iterate-methoden zoals Jacobi, Gauss-Seidel of SOR, of met directe methoden voor kleinere systemen. Het dient ook als bouwsteen voor meer geavanceerde stencils en kan worden uitgebreid naar hogere orde-stencils of naar drie dimensionale varianten (zoals een zevenpuntstencil in 3D).

Historisch gezien is het concept voortgekomen uit eenvoudige afleidingen van tweede afgeleiden binnen de finite difference-methoden en is het een standaardinstrument in numerieke wiskunde en engineering voor discretisatie van elliptische deelvergelijkingen op regelmatige roosters.