vektoritilat

Vektoritila (vektoritilat) on matematiikan käsite, jolla tarkoitetaan paria (V, F), jossa V on joukko ja F on kenttä sekä kaksi operaatioa: lisäys +: V×V→V ja skalaarikertolasku ⋅: F×V→V. Näiden operaatioiden on täytyttävä aksioomat, jotka varmistavat, että V toimii vektoritilana F:n päällä. Keskeisiä ominaisuuksia ovat, että lisäys on sulkeutuva, assosiaatiivinen ja vastalukuineen abeliininen, on olemassa nollavektori 0 ja jokaiselle v∈V on vastinvektori −v; skalaarikertolasku on sulkeutuva ja sitoutuva sekä 1·v=v; sekä distributiiviset ominaisuudet sekä a(u+v)=au+av että (a+b)v=av+bv sekä (ab)v=a(bv) kaikilla a,b∈F, u,v∈V. Näiden ehtojen täyttyessä V määrittää vektoritilan F:n päällä.

Esimerkkejä: R^n on vektoritila yli R, kun lisäys ja skalaarikertolasku ovat komponenttikohtaisia; polynomien tila P(F) tai F[x] sekä funktionaalien tilat; kaikkien n×m-matriisien tila M_{m,n}(F) on vektoritila, jossa toiminnot määräytyvät matriisien yhteenlaskulla.

Subtilat ja dimensiot: Joukko W⊆V on vektoritila, jos se on suljettu sekä lisäyksen että skalaarikertolaskun alle. Lineaarinen riippumattomuus määrittelee joukon S⊆V siten, ettei mikään ei-triviaalin lineaarisen yhdistelmän tulos ole 0. S:n span kattaa V, jolloin S on kanta, ja dim V on kantojen kardinaliteetti. Finite- ja infinite-dimensional ovat keskeisiä erotteluita.

Lineaariset transformaatiot ja duali: Kaikki lineaariset kartoitukset V→W muodostavat tilan L(V,W). V:n dualitila V* koostuu kaikista lineaarisista kartoituksista V→F.