vektoriperusteet

Vektoriperusteet ovat joukko vektoreita, jotka muodostavat vektoritilan perusjoukon: ne ovat lineaarisesti riippumattomia ja joilla kaikki tilan vektorit voidaan ilmaista yksikäsitteisesti lineaarikombinaationa näiden perusteiden vektoreista. Vektoritila voi olla yli mitä tahansa kenttää, tällöin puhutaan esimerkiksi reaalisista tai kompleksisista vektoreista.

Jos tila on rajallinen ja sen dimensioksi sanotaan n, niin vektoriperusteessa on tavallisesti n vektoria. Esimerkiksi R^3:n standardi perusta koostuu vektoreista e1=(1,0,0), e2=(0,1,0) ja e3=(0,0,1). Jokainen vektori v R^3:sta voidaan kirjoittaa yksikäsitteisesti v = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3, ja koordinaatit a1, a2, a3 riippuvat valitusta perusteesta.

Vektoriperusteet mahdollistavat koordinaatistamisen: kun valitaan perusteet, tilan vektorit saavat koordinaatit niiden avulla. Perusteiden välillä tapahtuu muunnoksia, ja näitä kutsutaan muutosperusteiksi tai muunnoksen matriiseiksi. Perusteen valinnalla on siten sekä teoreettinen että laskennallinen vaikutus, erityisesti vektorien koordinaattien laskussa ja lineaarien kuvien esittämisessä.

Erikoistapahtumissa voidaan puhua ortonormaaleista perustaista sisätulon kanssa varustetuissa tiloissa, jolloin koordinaatit saadaan helposti pistemäärityksin. Orthonomiaa voidaan tuottaa esimerkiksi Gram–Schmidt -menetelmällä.

Kiellettyjen rajatapauksien myötä infinite-dimensioisissa tiloissa voi puhua Hamel-perusteista (rajoittamaton lineaarikombinaatio ei vaadi konvergenssia) tai Schauder-perusteesta (sarja, joka konvergoituu). Vektoriperusteet ovat keskeisiä lineaarialgebrassa ja niiden kautta tilan rakenne ja lineaariset kuvat voidaan ymmärtää sekä käsitteellisesti että laskennallisesti.