ortonormaaleista

Ortonormaaleista viittaa joukkoihin tai basisseihin, jotka koostuvat ortonormaaleista vektoreista. Orthonomaalisuus tarkoittaa kahta asiaa: vektorit ovat keskenään ortogonaalisia (vektoreiden tekijäyhteisö on nollasta) ja jokainen vektori on yksikkömitallinen (pituus on 1). Tämä pätee vektoriavaruudessa, joka on sisätiheys, sekä reaalisissa että kompleksisissa tapauksissa. Kompleksisessa tilassa käytetään Hermiteista sisätapaa, jolloin <vi, vj> = δij.

Ortonormaali joukko määritellään usein siten, että viivat vi ja vj täyttävät <vi, vj> = 0, kun i ≠ j, ja <vi, vi> = 1. Kun tällainen joukko on riittävän pitkä ja jakaa koko avaruuden, se on ortonormaali perussetti (ortonormaali perusta). Ortogonaliteetti yksinään ei riitä, vaan normin on oltava 1. Ortonormaaleja joukkoja voidaan käyttää helpottamaan koordinaattien laskua sekä lineaarilukujen esityksiä.

Ominaisuudet ja sovellukset: Ortonormaali joukko muodostaa suorakulmaisen ja yksikköresidenssin, mikä tekee muutoksesta koordinaatistossa yksinkertaista: vektorien koordinaatit ovat sisätuloja ja ulostuloja. Jos vektorit muodostavat n-kokoelman ja avaruus on n-ulotteinen, ne muodostavat ortonormaali perustan. Muutostabletaan liittyy, että muunnin on ortogonaali (real) tai unitaarinen (kompleksinen), eli sen adjungoitujen ja tulosten tulo on identiteetti.

Esimerkkejä: R^3:n standardi basis {e1, e2, e3} on orthonormaali. Määreistä voidaan saada muita ortonormaaleja joukkoja esimerkiksi Gram-Schmidt-prosessi tai signaalinkäsittelyssä käytetyt Fourier-tyyppiset basisit.

Ortonormaaleja joukkoja ja basisseja käytetään laajasti lineaarialgebrassa, vektoritason analyysissä ja kvanttitieteissä.