undergrupperna

Undergrupperna är en grundläggande struktur inom gruppteori i matematiken. En undergrupp H till en grupp G är en delmängd av G som själv bildar en grupp med samma operation som G. Det krävs att identitetselementet tillhör H, att H är stängt under gruppoperationen och att varje invers tillhör H. Formellt: om a och b ligger i H så ligger också ab i H, och om a ligger i H så ligger även a^{-1} i H. Denna inre struktur gör det möjligt att studera G genom dess delmängder.

Egenskaper och konsekvenser: Intersektioner av undergrupper är undergrupper, liksom föreningar av kedjor av undergrupper när kedjan är ändlig. För ändliga grupper gäller Lagranges sats: ordningen |H| av en undergrupp delar ordningen |G| av gruppen. Ett element g i G genererar en cyclic undergrupp ⟨g⟩, vars ordning är ordningen hos g. Undergrupper spelar en central roll för att förstå gruppens struktur och symmetrier.

Normalitet och faktorgrupper: En undergrupp N i G är normal om gNg^{-1} = N för alla g i G. Då kan man bilda faktorgruppen G/N, där operationen definieras av (aN)(bN) = abN. Faktorgrupper används ofta för att studera G:s egenskaper via isomorfismer och för att konstruera nya grupper ur befintliga.

Exempel: I den additiva gruppen (Z, +) är varje undergrupp av formen dZ för ett heltal d ≥ 0. I den symmetriska gruppen S3 finns subgrupper som {e}, tre ordningar 2-genererade subgrupper, A3 (ordning 3) och hela S3. Inom (R, +) finns många undergrupper, bland annat rZ för r ∈ R, samt andra undergrupper som inte är av enkel generatorstruktur.