ufullstendighetsteoremer

Ufullstendighetsteoremer, ofte kalt Gödel’s ufullstendighetsteoremer, er en kjernedel av moderne logikk og matematikk. De ble bevist av Kurt Gödel i 1931 og viser grunnleggende begrensninger ved formelle axiomsystemer som er store nok til å uttrykke aritmetikk. Teoremene har betydelige konsekvenser forBildet av hva som kan bevises innenfor et gitt system og for, hva slags matematiske sannheter som kan fastslås innenfor en formell ramme.

Det finnes to teoremer. Første ufullstendighetsteorem sier at hvert konsistent, effektivt avledbart formelt system som kan uttrykke aritmetikk inneholder påstander som er sanne men ikke bevisbare innenfor systemet. Med andre ord finnes det sanne utsagn som ikke kan bevises i systemet, forutsatt at systemet ikke fører motstrid. Dette viser at ingen slik teori kan være komplett.

Andre ufullstendighetsteorem sier at hvis systemet er konsistent, så kan det ikke bevise sin egen konsistens innenfor systemet selv. Derfor kan en konsistent og tilstrekkelig sterk teori ikke bruke seg selv som grunnlag for å bekrefte sin egen konsistens uten å ty til lengre, ekstern meta-teori. Rosser forbedringer viser at for mange systemer kan dette utledes under milde antakelser, ikke bare ω-konsistens.

Betydning og konsekvenser inkluderer en avvisning av et perfeksjonert Hilbert- eller fullstendig bevisbarhetstrekk for all matematikk. Teoremene viser innebygde begrensninger i formelle systemer, og de forklarer hvorfor det finnes sannheter som ikke er fattet av en enkelt axiomatisert teori, slik de blir brukt i praksis i PA og ZF.