tilankuvaa

Tilankuvaa on matematiikassa käytettävä termi, joka viittaa lineaarisen muunnoksen kuvan tilasta. Esimerkiksi lineaarinen map T: V → W tuottaa tilan V lignääreina, ja sen tilan kuva eli tilankuvaa on joukko kaikkia muunnoksen kohdeavaruuden vektoreita, jotka ovat muunnoksen tuloksia: Im(T) = { w ∈ W | ∃ v ∈ V with T(v) = w }. Im(T) on W:n muodostama alijoukko ja käytännössä se on kohdevuoden alihakemisto, jonka suurin kokonaismäärä on dim(W).

Tilankuvan perusominaisuuksiin kuuluu, että se on alijoukko suljettu yhteenlaskulle ja skalaarikertolaskulle, eli Im(T) on subavaruus W:ssä. Kun V ja W ovat rajoitettuja mitoiltaan, tilankuvan dimensio määrittää muunnoksen rankin, ja kokonaissäätöön liittyy rank-nullity-laki: dim(Im(T)) + dim(Ker(T)) = dim(V). Tässä Ker(T) on T:n ydin eli niitä vektoreita, jotka mapataan nollaksi.

Laskennallinen näkökulma: jos T on lineaarinen mapa, jonka matriisi on A, Im(T) vastaa matriisin A sarakkeiden tilaa eli kolmikuvia (column space). Riviellussa vaiheessa pivotti- eli peruskolumneja käytetään tilankuvan perustana. Perustaksi Im(T) saa esimerkiksi ne sarakkeet, joiden indeksit vastaavat sarakkeiden perustavia pivotteja. Tilankuvan dimensioksi saadaan rank(A).

Geometrisesti tilankuvaa kertoo, mihin suuntiin ja mihin pisteisiin muunnos voi viedä koordinaatistosta. Se on keskeinen käsite lineaarisessa algebrassa sekä funktionaalisessa analyysissä, jossa vastaavia käsitteitä käytetään eri konteksteissa.