tiheysfunktioarvion

Tiheysfunktioarviointi tarkoittaa havaintoaineiston perusteella tiheysfunktion estimointia, eli todennäköisyysjakauman tiheyden arvaamista. Tiheysfunktio kuvaa, kuinka todennäköisesti satunnaismuuttuja ottaa tiettyjä arvoja, ja sitä käytetään ymmärtämään jakauman muotoa, keskipistettä ja hajontaa. Koska todellinen jakauma ei aina ole tiedossa, arviointi on keskeinen väline tilastossa ja data-analyysissä.

Lähestymistavat tiheysfunktion estimointiin voidaan jakaa epäparametrisiin ja parametriin perustuviksi. Epäparametreisissa menetelmissä ei tehdä vahvoja oletuksia jakauman muodosta. Yleisimmät epäparametrit ovat kernel-tiheysfunktioestimointi (KDE) ja histogrammit; KDE käyttää sovitettua kernel- eli tiheysfunktiota, kuten Gaussia, Epanechnikovia tai muita, ja säätää kaistanleveyden avulla estimaatin tarkkuutta ja smoothingia. Parametrisessa estimoinnissa oletetaan tietty jakaumaperhe (esim. normaalijakauma) ja arvioidaan sen parametrit maksimilikeydensiteetin menetelmällä (MLE). Parametrinen lähestymistapa voi olla tehokas, kun jakauma on sopiva, mutta väärä oletus aiheuttaa vinoutumaa.

Kaistanleveydellä eli smoothing-asteella KDE:ssä on keskeinen rooli: liian pieni kaistanleveys johtaa liian jyrkkiin ja epätoivottuihin piirteisiin, kun taas liian suuri smoothing yksinkertaistaa jakaumaa liikaa. Kaistanleveydelle on olemassa sääntöjä, kuten pienemmän kokeellisen ja toisten menetelmien, kuten ristiinvalinnan tai riskipohjaisten valintamenetelmien, käyttö. Arvioinnissa käytetään mittareita kuten Mean Integrated Squared Error (MISE) sekä erilaisten etäisyyksien ja log-likelihood-mittareiden tarkastelua.

Tiheysfunktioarviointi on keskeistä monissa sovelluksissa, kuten taloustieteessä, biotieteissä ja ympäristötieteissä, missä ymmärretään datan muotoa ja poikkeavuuksia ilman vahvoja jakaumaoletuksia. Matematiikassa ja tilastossa sen historia ulottuu Rosenblattin sekä Parzenin 1950–60-lukujen töistä, ja laajemman käytön toi Silvermanin teos 1986.

---