tesztfüggvényekre

A tesztfüggvények (angol nyelvű nevük test functions) a funkcionális analízisben olyan sima függvények, amelyek támogatása kompakt. Gyakran a C_c^\infty(ℝ^n) vagy a D(Ω) osztályba tartoznak, ahol Ω nyílt halmaz a valós térben. Ezeket a függvényeket disztribúciók próbadarabjaiként használjuk, mert a disztribúciónak adott φ-hoz értékei így értelmezhetők, még akkor is, ha a disztribúció nem hagyományos függvényként lép fel.

Jellemzők: a testfüggvények minden deriváltja is végtelen sűrűn differentiálható (C^\infty), és a támogatásuk kompakt, azaz zárható és korlátozott méretű területen kívül nulla értékük van. Például különféle bump függvények gyakorlati példák, amelyek pozitívak lehetnek, és integrálhatóak 1-re vagy bármilyen pozitív értékre állíthatók.

Felhasználás és alapfogalmak: a D(Ω) a tesztfüggvények tere, és a D′(Ω) a disztribúciók tere. A disztribúciónak való értéket így definiáljuk: ⟨T, φ⟩, ahol T ∈ D′(Ω) és φ ∈ D(Ω). A deriváltak átmeneteként ⟨T, ∂^αφ⟩ = (−1)^α ⟨∂^αT, φ⟩ teljesül, ami az integrálás-alapú benyomásaok általánosítását jelenti.

Mollifikáció és regulárizáció: a tesztfüggvények segítségével felépíthetőek olyan φ_ε függvények, amelyekkel konvolúció révén eloszlásokból sima függvények közelítése érhető el. Ezek a technikák a pontosabb elemzést és a generalizált funkciók közelítését szolgálják.

Általánosítások: a tesztfüggvények más síkokon és differenciálható sokdimenziós felületeken is definiálhatók, például sima kompakt támogatású függvények C_c^\infty(M) formájában egy sima sokoldalú manifoldon.