testfüggvények

A testfüggvények (tesztfüggvények) a disztribúcióelméletben használt, sima és kompakt támogatású függvények. Egy nyílt terület Ω ⊂ R^n definíciója szerint φ ∈ C_c^∞(Ω) akkor és csak akkor, ha φ végtelen sokszor deriválható, és supp(φ) kompakt, azaz zárt és korlátos része Ω-ban van. A tér D(Ω) = C_c^∞(Ω) ezen testfüggvények halmaza.

A testfüggvények célja az általánosított függvények, a disztribúciók vizsgálata. Egy disztribúció T lineáris és folytonos funkcionál D(Ω) → C (vagy ⟨T, φ⟩). Példák: a Dirac-delt δ_x, amely φ ↦ φ(x); illetve egy helyi integrálható függvény f, amely T_f(φ) = ∫ f(y) φ(y) dy definícióval disztribúciót ad, ha f ∈ L^1_loc.

Tulajdonságok és műveletek: minden testfüggvény sima és kompakt támogatású, így a deriváltjai is testfüggvények. A testfüggvények szorzása más testfüggvénnyel és tolása (φ(y) → φ(y − a)) is eredményez testfüggvényt. A konvolúció a disztribúciókkal érthetővé teszi a testfüggvények által létrehozott sima függvényeket (például T * φ), ami gyakran alkalmazott eszköz a gyengített értelemben vett deriválásban és a homogenizálásban.

Példák és alkalmazások: bump függvények a lokalizációhoz; a disztribúciók definíciója és a gyengített deriválás; a hullám- és Fourier-analízis eszközei; lokális tulajdonságok vizsgálata és formalizálása könnyen a testfüggvények segítségével történik.