testfüggvény

Testfüggvénynek (angolul test function) nevezzük az olyan függvényeket, amelyek értelmezési területe egy nyílt Ω ⊂ ℝ^n, és amelyek minden rendű deriváltja is végtelenesen differenciálható, továbbá a támogatásuk kompakt, azaz zárható és korlátozott. Az Ω-ban értelmezett testfüggvények halmazát gyakran C_c^∞(Ω) vagy 𝒟(Ω) jelöli. Ezek a függvények helyben is nulla lehetnek outside a kompakt támogatáson belül.

Jellemző tulajdonsága, hogy simák (∞-szeresen deriválhatóak) és a támogatásuk kompakt, így a függvények „helyhez kötöttek”. A támogatás alatt a függvény ott nem-0 értékkel rendelkező pontok zárt mennyiségét értjük; ha ez a halmaz kicsi és zárt, akkor a függvény például a vizsgált területen belül lokalizált.

Példák és szemléltetés: a standard buborék- vagy taxi-függvények olyan sima függvények, amelyek 0-tól különböznek csak egy korlátozott területen, és zártkörnyezetben gyorsan nullává válnak. Egy gyakran használt példa egy olyan 1D-es függvény, amely φ(x) = exp(-1/(1 - x^2)), ha |x| < 1, és φ(x) = 0, ha |x| ≥ 1. Hasonlóan, többváltozós esetben φ(x) = exp(-1/(1 - ||x||^2)) adható meg, ha ||x|| < 1, és 0, ha ||x|| ≥ 1.

Használat: a testfüggvények a disztribúcióelmélet alapkövei. Disztribúcióknak nevezzük a 𝒟(Ω) közönséges lineáris lineáris függvényeire konzisztens, folytonosan operálható lineáris funkcionálokat. A testfüggvényekkel végzett műveletek (például integrálás, végtelen sokszoros deriválás, illesztés) írják le a disztribúciók akcióját. Ezen keresztül definiálhatók gyenge deriváltak, és megvalósíthatóvá válik lokális megoldások vizsgálata, például részleges differenciálegyenleteknél.

Kapcsolódó fogalom a Schwartz-tér S(ℝ^n), amely gyorsan csökkenő sima függvények halmaza; ezek a temperált disztribúciók tesztfüggvényei is lehetnek.