disztribúcióelmélet

A disztribúcióelmélet két fő értelemben használatos a matematikában. Egyrészt a valószínűségelmélethez kapcsolódó eloszlások és a velük összefüggő fogalmak rendszere, másrészt a funkcionálelméletben a generalizált függvények, az úgynevezett disztribúciók (Schwartz-disztribúciók) elmélete. Mindkét megközelítés a különböző típusú objektumok és azok transformációinak vizsgálatára összpontosít, de eltérő célokat és módszereket használ.

A valószínűségi disztribúciók területén a véletlen változók eloszlását írjuk le. Eredményeik kulcsfontosságúak: eloszlásfüggvény vagy sűrűség, várható érték, variancia és egyéb momentumok jellemzik őket; gyakori példák a normál, exponenciális és gamma eloszlások. A vizsgálatok középpontjában a például a konvergencia és a gyenge konvergencia eloszlásokban való viselkedése áll, ahogy nagy számú összeg vagy kölcsönhatások jelennek meg (például a centrális határérték-tétel konvergencia disztribúciókban). Az eloszlások paramétereinek becslése és összehasonlítása is fontos témakör.

A funkcionálelméleti megközelítésben a disztribúciók olyan lineáris, folytonos functionálok a tesztfüggvények terekére, amelyeket a D′ térben dolgozunk. A D a véges támogatású sima függvények kifejező terei, míg a D′ a disztribúciók hosszú távú, generalizált értelmezése. Például a delta-disztribúció egy olyan objektum, amely egy pontban “összegzi” a méretet, és a disztribúciók deriválhatók, konvolúcióba vonhatóak, illetve a Fourier-transzformáción keresztül könnyen kezelhetők. A disztribúcióelmélet nélkülözhetősége jelentős PDE-k megoldásában, ahol szingularitásokkal szemben is értelmes megoldásokat ad.

A terület történetileg Laurent Schwartz nevéhez fűződik a XX. század közepén; a Dirac-delta és egyéb példák vezették be a generalizált függvények fogalmát, amely mára a matematikai fizikában és a mérnöki alkalmazásokban is széles körben használatos.