functionálok

Functionálok (lineáris funkcionálok) olyan leképezések egy vektortér V és a kódolt test vagy mező között, amelyek minden elemen lineárisak: φ(u+v)=φ(u)+φ(v) és φ(αu)=α φ(u). Gyakran a vektortér formalizálásához használt terminológia szerint a funkcionál egyetlen értéket ad vissza a vektorokra.

Ha V normált tér, akkor a lineáris funkcionálok közül sok a folytonos (vagy korlátos). Egy lineáris funkcionál folytonossága ekvivalens azzal, hogy létezik C>0 such that |φ(v)| ≤ C||v|| minden v-re; ezt a tulajdonságot szokták a dualitás definíciójában használni. A folytonos lineáris funkcionálok halmazát gyakran V* (vagy V') jelöli, amely a tér topológiai duala.

Példák: a R^n-ben minden funkcionál φ(x)=a1 x1 + … + an xn, vagyis rögzített vektorral vett skaláris szorzat. Hilbert-térben a Riesz-reprezentáció szerint minden folytonos lineáris funkcionál φ(x)=⟨x, y⟩ egy adott y-hoz tartozik. Függvényterekben például a L^p-téren φ_g(f)=∫ f(x) g(x) dx, ahol g ∈ L^q és 1/p + 1/q = 1; a C([a,b]) esetén a véges Borel-mértékek által adott integrálás vagy az evaluációs funkcionálok hozzák létre a dualt, a Riesz–Markov–Kakutani-tétel szerint.

Alkalmazások közé tartozik a funkcionálanalízis alapelveinek kidolgozása, a reprezentációs tételek megértése, valamint a mérhető és közelítő problémák megközelítése a különböző funkcionális terekben.