Függvényterekben

Függvényterekben a függvények halmazait és ezekhez kapcsolódó szerkezeteket vizsgálják. Egy függvényteret általában egy vektortérnek tekintenek, amely olyan funkcióhalmaz, amelyből egyszerű és lineáris műveletek végezhetők, például addíció és skalárral való szorzás. Gyakran ezt a struktúrát egy topológiával vagy normával is felruházzák, hogy értelmezni lehessen a konvergenciát és a folytonosságot.

Normált és Banájos felépítésű függvényterek a legelterjedtebbek. Normált függvényterekben a norma meghatározza a távolságot két függvény között, és teljeség esetén Banájszintes térnek hívjuk őket. Ha a belső szorzat is adható (például L^2-térben), akkor a tér Hilbert tér, amelyben az általános konvergenciákon túl a gyakorlatban is használják a belső szög és a projekciók elveit.

Példák közül kiemelkednek a L^p-térvek, ahol a p-edik hatvány integrálja a függvényre korlátozott, például p = 2 esetén a teret a belső operátorok és dekompozíciók is jól kezelik. A C(K) tér a K kompakt halmazon folyamatos függvények halmaza, normája a legnagyobb abszolútérték. Sobolev-terek W^{k,p}(Ω) a függvények és egyes deriváltjaik integráltságát is figyelembe veszik, ami fontos a PDE-kben.

Konvergencia és topológiák a függvényterekben alapvetők: normakonvergencia, egységnyi pontszerű konvergencia, gyenge konvergencia és gyenge-gyenge konvergencia a dual terekben. Aduál terek vizsgálata során gyakran megjelenik a lineáris funkcionálisan értelmezett teljes mértékben folyamatos leképezések és a reprezentációs tételek.

Az alkalmazások széles skálán jelennek meg: elemzések, approximationelmélet, integrál- és differenciálegyenletek, Fourier- és hullámhasználatok, valamint operátorok és közelítések vizsgálata különböző függvénytereken. Függvényterekben így a struktúra és a konvergencia kapcsolata alapvető eszközként szolgál a modern analízisben.