abszolútérték

Az abszolútérték a valós számok halmazán értelmezett függvény, amely a számok távolságát adja a nullától. Az x ∈ R esetén |x| a következőképpen definiált: ha x ≥ 0, akkor |x| = x, ha x < 0, akkor |x| = -x. Így minden x-re |x| ≥ 0, és |x| = 0 csak akkor teljesül, ha x = 0.

Alapvető tulajdonságai közé tartozik, hogy |xy| = |x||y|; |x + y| ≤ |x| + |y| (háromszög- egyenlőtlenség); és ||x| - |y|| ≤ |x - y|. Ebből következik, hogy |−x| = |x|, illetve |x| = 0 akkor, ha x = 0. A távolságfogalom szempontjából pedig a két valós szám közötti távolságot a |a − b| adja.

Geometriai és analitikai értelmezés: az abszolútérték a valós számok síkján a 0-tól való távolságot jelzi; az |a − b| kifejezés a két szám közötti eltérés hosszát adja. Az abszolútérték függvény grafikonja egy egyszerű zárt „V”-alakú vonal, amely x = 0-nál nem differenciálható.

Összetettebb keretekben az abszolútérték egy normát jelent: a valós számokra stand-in normát, amely kiindulási alapot ad metriák és távolságok meghatározásához. Komplex számokra az abszolútérték helyett a modulus |z| = sqrt(Re(z)^2 + Im(z)^2) használatos, amely a komplex sík euklideszi távolságát adja. Tulajdonságai: |zw| = |z||w| és |z + w| ≤ |z| + |w|. A modul nem holomorf (nem komplex-analitikus).