topológiával

Topológia a matematika azon ága, amely a terek alakváltoztatásokkal kapcsolatos tulajdonságait vizsgálja. Olyan jellegzetességeket foglalkozik, amelyeket folytonos deformációk nélkül meg lehet őrizni, például a hurkok jelenlétét, az összefüggőséget vagy a tér belső szerkezetének minőségét.

Egy topológiai tér X egy olyan halmaz, amelyhez egy nyílt halmazokból álló T nevű család tartozik. A topológia axiómái szerint ∅ és X elemei T-nek, a T zárt a véges metszetekre, és zárt tetszőleges unióra. A nyílt halmazok a topológia részei, és ezek határozzák meg, hogy mely leképezések tekinthetők folytonosaknak, illetve hogyan alakul a konvergencia és a közelítés.

Folytonosság: f: X → Y topologikus terek között úgy van, hogy a célhalmaz nyílt halmazainak preimage-e nyíltak legyenek az εlőterületen. Homeomorfia: bijekció, amelynek mindkét irányban folytonos a leképezése. Egy tér és egy másik tér közötti homeomorfia azt jelenti, hogy a két tér topológiailag egyenértékű. Ezzel a notionnel megfogalmazhatók a topológiai invariánsok, például az összefüggőség és a kompaktosság, illetve a hurkok megléte.

Konstrukciók és példák: a metrika által indukált topológia minden metrikus térre érvényes; gyakori példák közé tartozik a valós számok standard topológiája, a kör S^1 és a sík R^2, illetve ezek al-típusai. Emellett léteznek részhalmaz-topológia, szorzat-topológia és kvóciens-topológia, amelyek különböző összetett terek vizsgálatát teszik lehetővé.