folytonosságot

Folytonosság, a beszélt nyelvi értelemben vett „zökkenőmentesség”, a matematikában egy függvény vagy reláció azon tulajdonsága, hogy a bemenetek apró módosításai nem okoznak hirtelen, nagy változásokat a kimenetben. Ezzel a fogalommal a változások rendezettségét és kiszámíthatóságát írják le. A gyakorlatban a folytonosság alapja a hasonló bemeneti értékekhez tartozó hasonló kimenetek elve.

Formálisan egy f függvény esetén, ahol X és Y metrikus terek, f folyamatos at x0 abban az értelemben, hogy minden epsilon>0hoz létezik delta>0, hogy ha d_X(x, x0)<delta, akkor d_Y(f(x), f(x0))<epsilon. Ennek equivalense: az Y nyitott halmazainak visszaerőltetése f által nyitottak X-ben; vagyis ha x_n→x0, akkor f(x_n)→f(x0). A kontinuitás tehát topológiai és sorozatos karaktereit is magába foglalja.

Típusok és összefüggések: egy függvény akkor és csak akkor folytonos egy intervallumon, ha minden pontján folytonos; zárttartományon a folytonosság gyakran a középérték-tételhez és a legfelső/baloldali értékek érvényességéhez vezet. A feltétel erőssége a konstrukciótól függ: egyesített (uniform) folytatósság erősebb, mert delta nem függ a kiindulóponttól.

Példák: polinomok és szinusz-függvények folytonosak minden érthető tartományon; a léptékfüggő, ugrásos függvények (például a lépésfüggvény) pontokon diszkontinuálnak. Hasonlóan a Lipschitz-folytonosság erősebb kellékként adható, ahol a különbségek arányát kötjük meg.

Alkalmazások és összefüggések: a folytonosság alapvető szerepet játszik az analízisben, az integrálásban és a topológiában, valamint a fizikai és gazdaságtudományok modellezésében, ahol a folytonos viselkedés jelezheti a modell épségét és stabilitását. Folytonosság a matematikai gondolkodás egyik alapköve.