integrálásban

Az integrálás a matematika egyik alapfogalma, amely a függvényekkel kapcsolatos összegző műveleteket foglalja magába. Két fő formája a határozott integrál és a nem határozott integrál. A határozott integrál adott intervallumon a függvény alatti területet adja meg, a nem határozott integrál pedig egy olyan függvényt ad, amely deriváltja a megadott függvény.

A határozott integrál a görbe és az x tengely közötti területet, illetve egy általános összegzést ad meg. A nem határozott integrál pedig egy antiderivált ad meg, amelynek deriváltja a függvény. Az integrálás tehát különböző nézőpontokból értelmezhető: geometriai terület-számításként és analitikus összegzésként.

Az elméleti alapok között a leggyakoribb definíció a Riemann-integrál, amely feltételezi, hogy a függvény integrálható. Vannak azonban általánosabb keretek is, például a Lebesgue-integrál, amely tágabb osztályú függvényekre érvényes. Gyakorlati megközelítések közé tartozik a numerikus integráció: trapéz- és Simpson-szabály, Gauss-kvadraturák és Monte Carlo módszerek.

Alkalmazások közé tartozik a terület és térfogat meghatározása, a várható érték és a kockázat számítása, valamint a fizikai és mérnöki számítások, például erőfeszítés, munka és energia meghatározása.

Historikus megjegyzés: az integrálás kifejlődése a 17. században Newton és Leibniz közös felfedezéseihez köthető. A fogalom precízebb formálisítása később, Riemann és Lebesgue nevéhez fűződik.