differentiálható

Differenciálható vagy differenciálható függvénynek nevezzük azt a függvényt, amelynél a pontbeli tőszámú lineáris közelítés létezik. Pontosan: legyen U nyílt részhalmaz R^n-ben, f: U → R vagy általánosabban más normált terek között. A pont a ∈ U-hoz tartozó funkciónál azt mondjuk, hogy f differenciálható a pontban, ha létezik egy lineáris operátor A: R^n → R (a Frechet-derivált), amelyre

lim_{h→0} [f(a+h) − f(a) − A(h)] / ||h|| = 0.

Ebben az esetben az A-t jelöljük Df(a)-val vagy ∇f(a) a gradient, és A(h) = ⟨∇f(a), h⟩ a belső szorzatban értelmezett lineáris közelítés.

1D-ben a f differenciálható a pontban, ha f'(a) létezik, és ekkor A(h) = f'(a) h. Differenciálhatóság erősebb feltétel: a függvény folytonos a pontban, és a legpontosabb lineáris közelítést adja a lokális növekedéshez.

Összefüggések és megjegyzések: differenciálható mindenütt egy területen, vagyis Frechet-differenciálható, akkor a függvény részdifferenciálhányai minden irányban léteznek és a gradient adja meg a lineáris felbontást. Differenciálhatóság implied continuity, de folytatólagos vagy folytonosan részderiváltak önmagukban nem garantálják a differenciálhatóságot (különösen többváltozós esetben).

Példák: polinomok, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus függvények helyes tartományokban differenciálhatóak. Nem differenciálható például az abszolút érték függvénye a 0-ban, vagy más, nem sima darabolási pontokon.

Különbség más fogalmakkal: a C^1 vagy analitikus osztály a folyamatosan differentiálható, illetve annyira sima függvényekre utal.