Differenciálható

Differenciálható egy függvény akkor, ha a pontban már létezik annak helyi lineáris becslése. Formálisan egy f: U ⊆ R^n → R^m függvényre azt mondjuk, hogy f differentiálható a a pontban, ha létezik egy lineáris leképezés Df(a): R^n → R^m, amelyre

f(a+h) = f(a) + Df(a)h + o(∥h∥) cuando h → 0.

Az n=1 esetre ez a definíció egyszerűsödik: létezik f′(a) úgy, hogy f(a+h) = f(a) + f′(a)h + o(|h|). A Df(a) a függvény deriváltjának általánosított formája; egyváltozós esetben f′(a), többváltozós esetben aJacobian-mátrix.

Diffmerenciálhatóságon az adott ponton észlelt lineáris közelítés összefügg a differenciálhatósággal. Ha egy függvény egy nyílt területen differenciálható, akkor folyamatos is az adott területen. A differenciálhatóság erősebb, mint a folytonosság.

Osztályozások közé tartozik a C^1, C^k és C^∞ (trituradora: végtelen sokszor differenciálható), illetve az analitikus halmaz, amely a Taylor-sorral történő helyettesítést követeli meg. Ezzel szemben a differenciálhatóság nem jelenti azt, hogy a derivált globálisan folytonos vagy hogy a függvény analitikus lenne.

Példák: a f(x)=x^2 mindenütt differenciálható, és f′(x)=2x. A f(x)=|x| nem differenciálható x=0-ban. Ha több változós, például f(x,y)=x^2+y^2 differenciálható minden ponton; az abszolút érték függvény valamely vonatkozó pontban nem differenciálható.

Megjegyzés: differenciálhatóság impressívabb, mint a részderiváltak létezése; létezhet például részderivált is, miközben a függvény nem differenciálható egy adott pontban.