differenciálhatósággal

A differenciálhatóság (differenciálhatóság egy függvény adott pontban fennálló tulajdonsága) azt írja elő, hogy a függvény helyi viselkedését egy lineáris közelítéssel lehet pontosan megragadni. Ha f: U ⊂ R^n → R^m és a ∈ U, akkor f differenciálható a pontban, ha létezik egy lineáris leképezés L: R^n → R^m, amelyre f(a+h) = f(a) + L(h) + o(||h||) ahogy h → 0. E lineáris leképezést gyakran Df(a) vagy Jacobiannak hívják; m=1 esetén L-t egyszerűen a derivált írja le.

Különböző általánosításokban a differenciálhatóság biztosítja a helyi lineáris közelítést és ezáltal a függvények viselkedését nagyon közelítő módon meg lehet érteni. Differenciálhatóság implies folytonosság: ha f differenciálható a pontban, akkor f ott kontinuus. Azonban nem minden folytonos függvény differenciálható, és egyetlen részletre vonatkozóan sem ad elégséges garanciát a differenciálhatóságra.

Példák és kapcsolódó fogalmak: az egyikváltozós függvényeknél f(x) differentiálható a pontban, ha a határérték f′(a) létezik. Bizonyos esetekben elegendő a rész deriváltak létezése és folytonossága a ponthatónál a differenciálhatóság megadához; például ha minden részderivált létezik egy környezetben és folytonos a pontban, akkor f differenciálható. A differenciálhatóság alapvető szerepet játszik a láncszabályban, az inverz-függvény-tételben és az implicit-függvény-tételben, ahol a helyi közelítés és a Jacobian kulcsfontosságú.

További minősítések közé tartozik a C^k osztály (k-szeresen differenciálható), a C^∞ vagy a analitikus függvények, amelyek differenciálhatóságának erősebb formáit adják. A differenciálhatóság megértése alapvető a függvények sajátosságainak alapos vizsgálatához.