symmetrien

Symmetrien bezeichnen in der Mathematik, Physik und anderen Wissenschaften Eigenschaften von Objekten oder Systemen, die unter bestimmten Transformationen unverändert bleiben. Eine Transformation, die das Objekt auf sich selbst abbildet, gehört zur Symmetriegruppe des Objekts.

Man unterscheidet geometrische Symmetrien und innere bzw. physikalische Symmetrien. Geometrische Symmetrien betreffen Form und Muster und lassen sich in diskrete Symmetrien (Spiegelung, Rotationen um feste Winkel) sowie kontinuierliche Symmetrien (beliebige Rotationen, Translationen) unterteilen. Zur Beschreibung verwendet man Gruppen, insbesondere endliche Gruppen wie Dihedralgruppen für regelmäßige Vielecke oder unendliche Gruppen für Kreis- und Rotationssymmetrien; in der Geometrie treten auch Lie-Gruppen wie SO(3) auf.

Physikalische Gesetze gelten oft als invariant gegenüber bestimmten Transformationen. Noethers Theorem verknüpft kontinuierliche Symmetrien mit Erhaltungssätzen wie Energie bei zeitlicher Verschiebung und Impuls bei räumlicher Translation. Symmetrien liefern damit tiefe Einsichten in das Verhalten physikalischer Systeme und deren Gesetzmäßigkeiten.

Symmetrien finden breite Anwendungen in der Chemie (Molekülstruktur), Kristallografie, Kunst, Informatik und Physik. Symmetriebrüche erklären Phasenübergänge und Phänomene, bei denen eine zuvor erkennbare Ordnung verloren geht oder sich verändert. Historisch stammen die Konzepte aus dem 19. Jahrhundert; die Entwicklung der Gruppentheorie und der formalen Symmetrieanalyse prägt bis heute viele Gebiete der Wissenschaft.