spredningsmatricer

Spredningsmatriser, eller spredningsmatriser i statistik, beskriver hur data sprider sig och hur variablerna samvarierar. För en slumpmässig vektor X ∈ R^p med medelvärde μ definieras den teoretiska spredningsmatrisen S som S = E[(X − μ)(X − μ)^T]. Denna matris är symmetrisk och positiv semidefinit. Om μ är okänd används vanligtvis en estimator baserad på data, exempelvis kovariansmatrisen.

Kovariansmatrisen uppskattas med Σ̂ = (1/(n−1)) Σ_{i=1}^n (x_i − x̄)(x_i − x̄)^T. Denna estimator ger diagonala elementen som variansen och avvikelsen och speglar hur variablerna samvarierar i olika riktningar. Den är positiv semidefinit och kan vara singular om p > n eller om data är beroende.

Användningsområden inkluderar multivariat analys som principal components analysis (PCA), diskriminantanalys, portföljval inom finans och signalbehandling. Spredningsmatriser används också i dataförbehandling, till exempel vid whitening av data, där man multiplicerar med inverse kovariansmatrisen för att få variablerna uncorrelated med likformig varians. Mahalanobis-avståndet beräknas med hjälp av inversen av spredningsmatrisen.

Notera att valet av estimator påverkar resultatet i små prover och vid avvikande data; robusta eller shrinkage-baserade estimators används i sådana fall. Relaterade begrepp är kovariansmatrisen, korrelationsmatrisen och scatter-matrisen, samt tekniker som PCA och Mahalanobis-avståndet.