spektralmetoder

Spektralmetoder är en klass av numeriska metoder för lösning av differentialekvationer där lösningen uttrycks som en summa av globala basfunktioner över domänen. Vid periodicitet används ofta Fourierbaser, medan icke-periodiska eller rektangulära domäner ofta återspeglas med polynombaser som Chebyshev eller Legendre. Huvudvarianterna är Galerkin-spektralmetoder, där lösningen projiceras på basen och residualen minimeras i en viss norm, samt pseudospektraulla eller collocation-metoder där ekvationerna uppfylls vid utvalda kollokationspunkter (t.ex. Fourier- eller Chebyshevpunkter).

Lösningen konvergerar mycket snabbt till den sanna lösningen när den är glatt; konvergensen är ofta exponential i antalet vågor eller basfunktioner. Vid icke-glatta lösningar kan Gibbs-fenomen uppträda. De-aliasing-tekniker används ofta i icke-linjära problem för att kontrollera energiöverföring till högfrekventa vågor; vanliga metoder är 2/3-regeln eller paddingstrategier.

Förekomsten av periodiska domäner gör implementationen särskilt enkel med FFT (snabbt Fourier-transform). I icke-periodiska problem krävs alternativa transformbaser som DCT eller diskreta Chebyshev-transformer. Typiska steg är: välja bas och domän, expandera lösningen i basen, projicera PDE:n på basen eller uppfylla den vid kollokationspunkter, och sedan lösa tidsutvecklingen med lämpliga tidsintegrationsscheman (t.ex. Runge–Kutta eller eksponentiella tidssteg). Spridningen till flera dimensioner följer ofta tensorprodukter och kräver effektiv FFT- eller DCT-basstruktur.

Fördelar är mycket hög precision för släta lösningar och snabb konvergens; nackdelar inkluderar känslighet för oregelbundna gränsvillkor och geometrier, samt hög minnes- och beräkningskostnad i högre dimensioner. Spektralmetoder används ofta i fluiddynamik, kvantmekanik och vågfysik.