gränsvillkor

Gränsvillkor är villkor som anger hur lösningen till en differentialekvation beter sig på gränsen av dess domän. De används för att göra ett boundary value-problem väldefinierat och för att begränsa lösningen utanför det givna området.

De vanligaste typerna av gränsvillkor är Dirichletvillkor, Neumannvillkor och Robinvillkor. Dirichletvillkor anger värdet av lösningen direkt på gränsen, till exempel u = g på ∂Ω. Neumannvillkor anger värdet av den inre normalderivatan av lösningen på gränsen, till exempel ∂u/∂n = h på ∂Ω, där ∂/∂n betecknar derivatan i den normala riktningen mot gränsen. Robinvillkor är en blandning av värdet av lösningen och dess normalderivata som relaterar båda till ett känt mått, ofta i formen α u + β ∂u/∂n = r på ∂Ω. Det finns även blandade eller partiella gränsvillkor som tillåter olika typer på olika delar av gränsen.

Gränsvillkoren är centrala i problem som rör differentialekvationer och boundary value-problem. De påverkar existens, entydighet och stabilitet av lösningar och används i olika fysiska och tekniska sammanhang, såsom värmeöverföring, ekvationer i fluid- och solidmekanik samt i elektrodynamik. Vid numerisk lösning används ofta metoder som finite element och finite difference där valet av gränsvillkor styr hur gränsen behandlas i programvaran.

Exempel: för Laplace-ekvationen ∆u = 0 i Ω kan man ha Dirichletvillkor u = g på ∂Ω, Neumannvillkor ∂u/∂n = h på ∂Ω, eller Robinvillkor α u + β ∂u/∂n = r på ∂Ω.