somatório

Somatório é a operação de adicionar uma sequência de termos, representada pela notação sigma ∑. Pode indicar uma soma finita, como ∑_{i=1}^n a_i, ou uma série infinita, como ∑_{k=0}^∞ a_k, cuja convergência depende do limite dos somatórios parciais existir. Em geral, o índice varia conforme o contexto, e os termos podem depender do próprio índice.

Os termos que entram no somatório são geralmente indicados como u_i ou a_k, agrupando-se quando necessário. Princípios básicos incluem a linearidade: a soma de constantes pode ser fatorada, ∑ c = n c, e a soma de somas é igual à soma das somas, ∑ (u_i + v_i) = ∑ u_i + ∑ v_i. Também vale a ideia de que somatórios podem ser reindexados sem alterar o resultado, desde que a correspondência seja válida.

Algumas fórmulas comuns aparecem frequentemente: a soma dos inteiros de 1 a n é n(n+1)/2; a soma dos quadrados de 1 a n é n(n+1)(2n+1)/6. Em somatórios infinitos, o caso clássico é a série geométrica ∑_{k=0}^∞ ar^k = a/(1−r) para |r| < 1. Se o raio de convergência não for satisfeito, a série diverge.

Aplicações aparecem em várias áreas, incluindo estatística, física, ciência da computação e matemática discreta. O somatório também está ligado ao conceito de integral, como o limite de somatórios parciais que aproximam áreas e probabilidades. Em cálculo e análise, ele oferece uma ferramenta essencial para expressar totais de forma compacta e operável.