slumpvandringsmodeller

Slumpvandringsmodeller er stokastiske processer som beskriver bevægelse, hvor positionen ændres i diskrete trin efter tilfældige skridt. Den mest grundlæggende variant er den enkle slumpvandringsmodel, hvor hvert trin ændrer positionen med et bestemt skridtstørrelse og retning, typisk +1 eller −1 i én dimension. Ofte antages skridtene at være uafhængige og identisk fordelt, hvilket gør processen til en Markov-kæde uden hukommelse.

I den klassiske form er det en symmetrisk random walk hvis sandsynlighederne for +1 og −1 er lige store. For n skridt har man forventningen E[S_n] = (p − q) n og variansen Var(S_n) = 4 p q n. Ved p = q = 1/2 er E[S_n] = 0 og Var(S_n) = n, hvilket afspejler at spredningen vokser lineært med antallet af skridt.

Ud over en dimension findes der flerdimensionelle versioner, f.eks. en 2D vandring på et gitter hvor skridt kan være op, ned, højre eller venstre. Der findes også variationer med drift, hvor gennemsnitsretningen ikke er nul, og dermed en tendens i positionen. Endvidere kan skridtfordelingen være mere kompleks, som f.eks. lange tunghale-skridt (Levy-flights) eller afhængigheder mellem trin.

Et centralt forhold er at den diskrete slumpvandringsproces ofte konvergerer, under passende skalering, mod Brownsk bevægelse i grænsen. Dette gør slumpvandringsmodeller nyttige til forklaring af diffusion og stokastiske fænomener i kontinuerlig tid. Begrænsninger som absorberende eller reflekterende grænser ændrer hitting-tider og sandsynligheder.

Anvendelser omfatter finansielle modeller for prisbevægelser, f.eks. binomialmodeller og som grundlag for lognormal antagelser i visse prisprocesser, samt anvendelser inden for biologi, datalogi og fysik, hvor tilfældige vandringer bruges til at beskrive spredning, søgeprocesser og netværksbaserede algoritmer.