siirtymätodennäköisyysmatriiseilla

Siirtymätodennäköisyysmatriisi on neliömäinen matriisi, joka kuvaa todennäköisyyksiä siirtyä yhdestä tilasta toiseen. Sitä käytetään yleisesti stokastisten prosessien, kuten Markov-ketjujen mallintamisessa. Matriisin rivit edustavat nykyisiä tiloja ja sarakkeet edustavat tulevia tiloja. Matriisin elementti i,j kertoo todennäköisyyden siirtyä tilasta i tilaan j yhden aikayksikön aikana. Kaikkien rivien summa on aina yksi, sillä jostakin tilasta on aina siirryttävä johonkin tilaan.

Siirtymätodennäköisyysmatriiseja voidaan käyttää ennustamaan järjestelmän käyttäytymistä pitkällä aikavälillä. Kun matriisia kerrotaan itsellään useita kertoja, saadaan ns. n-askeleen siirtymätodennäköisyysmatriisi, joka kuvaa todennäköisyyksiä siirtyä tilasta toiseen n aikayksikön kuluttua. Jos järjestelmä saavuttaa stationäärisen tilan, sen todennäköisyysjakauma pysyy muuttumattomana ajan myötä. Stationäärisen tilan todennäköisyydet voidaan laskea ratkaisemalla yhtälö, jossa stationäärinen jakauma kerrottuna siirtymätodennäköisyysmatriisilla on sama kuin stationäärinen jakauma.

Sovellusalueita siirtymätodennäköisyysmatriiseille ovat muun muassa markkinointi, jossa seurataan asiakkaiden käyttäytymistä, fysiikassa hiukkasten liikkeen mallintaminen, biologiassa populaatiodynamiikan tutkiminen ja tietojenkäsittelytieteessä hakukoneiden rangitusalgoritmit. Ne tarjoavat matemaattisen työkalun dynaamisten järjestelmien ymmärtämiseen ja ennustamiseen.